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高级计量经济学 13：最大似然估计(下)
此文内容为《高级计量经济学及STATA应用》的笔记，陈强老师著，高等教育出版社出版。
我只将个人会用到的知识作了笔记，并对教材较难理解的部分做了进一步阐述。为了更易于理解，我还对教材上的一些部分（ 包括证明和正文 ）做了修改。
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在计量经济学中，常常使用以下三类大样本下渐近等价的统计检验。对于 线性回归模型 ，检验原假设为 ，其中 为未知参数， 已知，共有 个约束。
通过研究 的无约束估计量 和 的距离来进行检验
他检验的东西是我所估计出来的 是否可能等于
其基本思想是，如果 正确，那么 与 的距离应该不要很大（注意，这里是 和 的距离 ）。Wald Test 统计量为：
其中， 为约束条件的个数（即解释变量的个数），其证明在 高级计量 第6、7期有，大家可以回顾（也可以在我的上看）， 我在这里多嘴说一下如何理解它 。
我们从标量的情形开始。显然 衡量了 和 的距离。但是，这有两个问题：
由于出现了上面的两个困境，于是我们就很容易想到标量情形下 Wald Test 的表达式：
也就是：
的形式。
很容易拓展到向量的情形。如果我们要对多个参加进行检验，那么 就变成了向量 ，此时 虽然也可以反映两个向量之间的距离，但绝对值的数学性质并不良好，我们更多的是使用欧拉距离，也就是使用
的形式（ 二次型 ）。同样地，这个式子还没有解决 把握 和 量纲 的问题，于是我们也需要对它除以“标准差”。我们前面已经反复强调，在向量下的除法运算就是 逆 、向量下的方差就是 协方差矩阵 、向量下的二次函数就是 二次型 ，那么于是我们就有：
这就是 Wald Test 统计量的来源。至于它如何收敛到 分布，请移步 高级计量 第6、7期。
通常来说，无约束的似然函数最大值 比有约束的似然函数最大值 更大，这是因为无约束条件下的参数空间 显然比带约束的参数空间 更大，即： 。
LR的思想是，如果 正确，那么 不应该很大。在 正确下， ，那么LR统计量就是：
证明的方法是将LLF做二阶泰勒展开（因为MLE的一阶条件表明， ，可以看前一篇文章）。 高级计量7 中的 统计的似然比表达式就是按照这个原理设计的。
下面的证明我没有参考别的资料，我尽量做到严谨，推着玩玩儿。
考虑有约束条件的对数似然函数最大化问题：
引入拉格朗日函数：
其中， 为拉格朗日乘子向量，如果 ，那么说明此约束条件 不紧 （tight）或者不是 硬约束 （binding constraint），加上这个约束条件并不会使似然函数的最大值下降很多，即原假设 很可能成立。根据上述问题的一阶条件，对 求导，有：
即最优的拉格朗日乘子 等于似然函数在 处的梯度向量，那么 统计量为：
其中， 为信息矩阵在 处的取值。由于 有被称作 得分函数 （score function），所以这个检验也被称为 得分检验 （score test）；而 正正是得分函数的协方差矩阵，这我们前面已经证明过了。直观来说，就是由于在无约束估计量 处，得分函数为 向量，那么如果原假设 成立，那么在约束估计量 处，梯度向量也应该接近于 向量，即：
而 统计量反应的就是此接近程度。
总之，Wald检验仅利用无约束估计的信息；LM检验仅使用有约束估计的信息；LR检验同时利用了有约束和无约束估计的信息。在原假设为 下，我总结了下表：
在大样本下，三种检验是渐近等价的；在小样本下， 。
另外，如果不对模型的具体概率分布作假设，则无法得到似然函数，于是就一般没有办法使用 检验和 检验；不过 检验依然可以使用。所以 检验的使用范围最广。
如果随机变量不服从正态分布，却使用了以正态分布为前提的最大似然估计法，该估计量 仍有可能是一致的 ！
定义 使用不正确的似然函数而得到的最大似然估计，称为 准最大似然估计 （Quasi MLE, QMLE）或 伪最大似然估计 （Pseudo MLE）。
之所以在某些情况下可以“歪打正着”地得到一致估计的准最大似然估计，是因为 MLE 也可以被视为 GMM，而后者并不需要对随机变量的具体分布作出假定（见教材第10章）。也就是说，虽然 MLE 要求随机变量服从正态分布，不过这个假定其实可以稍微放松。如果 QMLE 满足以下条件，那么它依然是一致估计量：
然而，更一般的情况下， QMLE 并非一致估计 ，比如 14 章的 Tobit 回归。就算 QMLE 恰巧为一致估计，但其渐近方差也通常不是一致估计（即参数估得准，不过参数的不确定性估不准）。
假设正确的对数似然函数为 而被误设为 ，那么我们称后者为 准对数似然函数 （pseudo log likelihood function, PLLF）。最大化 的结果也就是 QMLE 估计量：
类似于 MLE 一致性的证明步骤，我们可以证明 ，其中 称为 准真实值 （peseudo-true value），但通常 。对于 的大样本分布，可以用类似于 MLE 的推导证明：
其中， 和 的表达式类似于 和 的表达式。不过，由于 并非真实的 LLF，所以信息矩阵等式不再成立，于是通常 ，这为渐近正态的协方差矩阵 的进一步简化造成了麻烦。
在我们 很有把握 的条件下，我们可以用基于 的标准误差来做假设检验，这被称为 胡贝尔-怀特稳健标准误 （Huber-White robust standard errors）。这个标准误也被称为 稳健标准误 ，因为它与第 5 章介绍的 异方差稳健标准误 是一致的。需要注意的是，如果 ，就算使用稳健的标准误也 无济于事 ，你首先要考虑的是估计的一致性问题。
对线性回归模型，如果扰动项不服从正态分布，则虽然OLS 估计量是一致的且服从正态分布，但是无法使用小样本 OLS 进行假设检验。在这种情形下，就需要对扰动项是否服从正态分布进行检验。当然，如果是大样本，那就可以用渐近正态的理论处理，我们也不关心扰动项是否服从正态分布了。
不过，对非线性模型使用 MLE 时，由于正态分布假定时推导 MLE 的前提，故而检验扰动项是否服从正态分布可能就显得比较重要。
为了考察扰动是否正态，最直观的方法是画图。可以把残差画成直方图，然后用 核密度估计 方法得到光滑的曲线，然后与正态分布的曲线进行对比。一个核密度估计的例子如下图所示：
关于计量经济学的题，求置信区间怎么做，请写出具体步骤
该题目应该是总体成数的区间估计问题
解 已知n=200，p=140/200=0.7,又已知1-α=0.95，则根据t分布表，与置信水平95%相对应的
t=2.14
于是△p= t * 根号下 p（1-p）/n=2.14 * 根号下0.7*0.3/200=6.93%
所以，由于这种原因离开该的人员的真正比例构造95%的置信区间为：
p-△p=p=p+△p
即：70%-6.93%=p=70%+6.93%
也即：63.07%=p=76.93%
故由于这种原因离开该的人员的真正比例构造95%的置信区间为（63.07%，76.93%）
因为统计公式符号不方便打上，开根号的地方我用汉字代替了
希望对你有帮助！
求计量经济学试题及答案。
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问题描述:
马上要考试了。书看完了。可是手边连套题都没有。很不踏实。
先谢各位了。
解析:
计量经济学期末试卷（2004年6月，满分70分）
一（24分）将中国城镇居民按照人均年收入分成 组，以2003年的组平均数为样本观测值，建立中国城镇居民消费函数模型，以人均年消费额 为被解释变量，经过理论分析和经验检验，选择人均年收入 和人均储蓄余额 作为解释变量，解释变量和被解释变量之间的关系为直接线性关系。模型形式为：
⑴ 分别写出该问题的总体回归函数、总体回归模型、样本回归函数和样本回归模型；
⑵ 分别写出随机误差项具有同方差且无序列相关、具有异方差但无序列相关、具有异方差且具有一阶序列相关时的方差—协方差矩阵；
⑶ 当模型满足基本假设时，写出关于普通最小二乘法参数估计量的正规方程组；
⑷ 直观判断该模型是否具有异方差性？为什么？
⑸ 如果该模型存在异方差性，写出加权最小二乘法参数估计量的矩阵表达式，并指出在实际估计时权矩阵是如何选择的；
⑹ 指出“偏回归系数” 的实际含义，并指出解释变量满足什么条件时可以用一元回归模型得到相同的 的估计结果？
⑺ 如果仅以入均收入200元及以上的收入组为样本，用OLS和ML分别估计模型，参数估计量是否等价？为什么？
⑻ 如果模型中未包括显著的解释变量 ，可能导致模型违背哪些基本假设？
二（8分）简要回答下列问题：
⑴ C-D生产函数模型和CES生产函数模型关于要素替代弹性和技术进步的假设分别是什么？
⑵ 建立城镇居民食品类需求函数模型如下：
其中V为人均购买食品支出额、Y为人均收入、 为食品类价格、 为其它商品类价格。 指出各个参数估计量的经济意义和数值范围。
三（8分）某联立方程计量经济学模型有3个方程、3个内生变量 、3个外生变量 和样本观测值始终为1的虚变量C，样本容量为n。其中第二个方程为
⑴ 能否采用OLS方法估计该结构方程？为什么？
⑵ 如果采用工具变量方法估计该方程，如何选择 的工具变量？（指出两种选择）
四（16分）中国的银行系统正遭受着坏帐的困扰，有估计认为全部坏帐足以让整个银行系统崩溃。毫无疑问坏帐是资源配置被扭曲的一个例子，换句话说如果没有坏帐，中国的GDP增长率也许会更高。为检验这一理论，假设你已经收集了中国银行系统坏帐累计总额的时序数据，以及其它一些总量数据如GDP，人口和总投资。
⑴ 写出一个能够描述该问题的计量经济学模型，并解释。
⑵ 写出检验下述命题的原假设：“坏帐对当期GDP增长率无影响”。
⑶ 为1中你的模型提供合适的计量经济学估计方法，详细说明。
⑷ 要让3中你的估计量满足一致性，必须满足什么条件？
五（14分）假设你想研究国企和外企生产率的差别，为此你建立了如下的模型：
其中变量 表示人均产出（per worker）， 表示总资产净值中由外国公司拥有的份额， 表示人均资本存量(per worker)。假定你收集了300个企业关于这些变量在2000年的数据。
⑴ 写出下述命题的原假设：“国企和外企生产率无差异”
⑵ 假定你用简单OLS估计模型，估计量具有一致性吗？为什么。
⑶ 假定你认为简单OLS估计不具有一致性，提供一个可以获得一致估计的估计方法，详细说明。
⑷ 现在假定你还另外收集了相同厂商相同变量在2003年的数据，试建立一个更好的模型可以利用这一额外信息。讨论你将如何估计这一模型。
计量经济学试题（2002年6月）
⒈（共30分，每小题3分）建立中国居民消费函数模型
t=1978,1979,…,2001
其中 表示居民消费总额， 表示居民收入总额。
⑴ 能否用历年的人均消费额和人均收入数据为样本观测值估计模型？为什么？
⑵ 人们一般选择用当年价格统计的居民消费总额和居民收入总额作为样本观测值，为什么？这样是否违反样本数据可比性原则？为什么？
⑶ 如果用矩阵方程 表示该模型，写出每个矩阵的具体内容，并标明阶数；
⑷ 如果所有古典假设都满足，分别从最小二乘原理和矩方法出发，推导出关于参数估计量的正规方程组；
⑸ 如果 与 存在共线性，证明：当去掉变量 以消除共线性时， 的估计结果将发生变化；
⑹ 如果模型中 为随机解释变量且与 相关，证明：如果用OLS估计该消费函数模型，其参数估计量是有偏的；
⑺ 如果模型中 为随机解释变量且与 相关，选择 *** 消费 为 的工具变量（ 满足工具变量的所有条件），写出关于参数估计量的正规方程组；
⑻ 如果经检验表明模型存在一阶序列相关，而需要采用广义差分法估计模型，指出在常用的软件中是如何实现的？
⑼ 在不受到限制的情况下， 的值域为 ，写出 的对数似然函数；
⑽ 试分析，以t=1978,1979,…,2001数据为样本观测值，能否说“样本是从母体中随机抽取的”？那么采用OLS估计模型参数，估计结果是否存在偏误？为什么？
⒉（共16分，每小题4分）下列为一完备的联立方程计量经济模型
其中C为居民消费总额、I为投资总额、Y为国内生产总值、 为 *** 消费总额，样本取自1978—2000年。
⑴ 证明：对于消费方程，用IV、ILS、2SLS方法分别估计，参数估计结果是等价的。
⑵ 说明：对于投资方程，能否用IV、ILS方法估计？为什么？
⑶ 写出该联立方程计量经济模型3SLS参数估计量的矩阵表达式，并写出表达式中每个矩阵的具体形式；
⑷ 根据经验判断，该模型3SLS参数估计量与2SLS参数估计量是否等价？为什么？
⒊（共18分，每小题3分）简单回答以下问题：
⑴ 分别指出两要素C-D生产函数、两要素一级CES生产函数和VES生产函数关于要素替代弹性的假设。
⑵ 在一篇博士论文中设计的生产函数模型为：
其中，Y为产出量，K、L为资本和劳动投入量， 为第i种能源投入量，其它为参数。试指出该理论模型设计的主要问题，并给出正确的模型设计。
⑶ 建立城镇居民食品类需求函数模型如下：
其中V为人均购买食品支出额、Y为人均收入、 为食品类价格、 为其它商品类价格。拟定每个参数的数值范围，并指出参数之间必须满足的关系。
⑷ 指出在实际建立模型时虚变量的主要用途。
⑸ 两位研究者分别建立如下的中国居民消费函数模型
和
其中 表示居民消费总额， 表示居民收入总额。由相同的样本和相同的估计方法，得到了不同的居民边际消费倾向估计值。如何解释这种现象？由此指出经典计量经济学模型的的缺点。
⑹ 从经典计量经济学模型设定理论出发，在建立中国宏观计量经济模型时，一般应该如何对第三产业的生产方程进行分解，并指出其理由。
⒋（6分）在你完成的单方程计量经济学模型综合练习中，你是如何确定理论模型的最终形式的？
计量经济学期末试题
（2003年6月，满分70分）
⒈（12分）某人试图建立我国煤炭行业生产方程，以煤炭产量为被解释变量，经过理论和经验分析，确定以固定资产原值、职工人数和电力消耗量变量作为解释变量，变量的选择是正确的。于是建立了如下形式的理论模型：
煤炭产量= 固定资产原值+ 职工人数+ 电力消耗量+μ
选择2000年全国60个大型国有煤炭企业的数据为样本观测值；固定资产原值用资产形成年当年价计算的价值量，其它采用实物量单位；采用OLS方法估计参数。指出该计量经济学问题中可能存在的主要错误，并简单说明理由。
⒉（12分）以 表示粮食产量， 表示播种面积， 表示化肥施用量，经检验，它们取对数后都是 变量且互相之间存在 关系。同时经过检验并剔除不显著的变量（包括滞后变量），得到如下粮食生产模型：
(1)
⑴ 写出长期均衡方程的理论形式；
⑵ 写出误差修正项ecm的理论形式；
⑶ 写出误差修正模型的理论形式；
⑷ 指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义。
⒊（6分）对于上述粮食生产模型(1)，假设所有解释变量与随机误差项都不相关。
⑴ 如果采用普通最小二乘法估计，用非矩阵形式写出关于参数估计量的正规方程组；
⑵ 从以上正规方程组出发说明，为什么不能采用分部回归方法分别估计每个参数；
⒋（9分）投资函数模型
为一完备的联立方程计量经济模型中的一个方程，模型系统包含的内生变量为C（居民消费总额）、I（投资总额）和Y（国内生产总值），先决变量为 （ *** 消费）、 和 。样本容量为 。
⑴ 可否用狭义的工具变量法估计该方程？为什么？
⑵ 如果采用2SLS估计该方程，分别写出2SLS估计量和将它作为一种工具变量方法的估计量的矩阵表达式；
⑶ 如果采用GMM方法估计该投资函数模型，写出一组等于0的矩条件。
⒌（6分）建立城镇居民食品类需求函数模型如下：
其中V为人均购买食品支出额、Y为人均收入、 为食品类价格、 为其它商品类价格。
⑴ 指出参数估计量的经济意义是否合理，为什么？
⑵ 为什么经常采用交叉估计方法估计需求函数模型？
⒍（9分）选择两要素一级CES生产函数的近似形式建立中国电力行业的生产函数模型：
其中Y为发电量，K、L分别为投入的资本与劳动数量，t为时间变量。
⑴ 指出参数γ、ρ、m的经济含义和数值范围；
⑵ 指出模型对要素替代弹性的假设，并指出它与C-D生产函数、VES生产函数在要素替代弹性假设上的区别；
⑶ 指出模型对技术进步的假设，并指出它与下列生产函数模型
在技术进步假设上的区别；
⒎（8分）试指出在目前建立中国宏观计量经济模型时，下列内生变量应由哪些变量来解释，简单说明理由，并拟定关于每个解释变量的待估参数的正负号。
⑴ 轻工业增加值 ⑵ 衣着类商品价格指数
⑶ 货币发行量 ⑷ 农业生产资料进口额
⒏（8分）回答：
⑴ 随机时间序列的平稳性条件是什么？证明随机游走序列不是平稳序列。
⑵ 单位根检验为什么从DF检验扩展到ADF检验？
计量经济学期末试题答案
（2003年6月，满分70分）
⒈（12分）某人试图建立我国煤炭行业生产方程，以煤炭产量为被解释变量，经过理论和经验分析，确定以固定资产原值、职工人数和电力消耗量变量作为解释变量，变量的选择是正确的。于是建立了如下形式的理论模型：
煤炭产量= 固定资产原值+ 职工人数+ 电力消耗量+μ
选择2000年全国60个大型国有煤炭企业的数据为样本观测值；固定资产原值用资产形成年当年价计算的价值量，其它采用实物量单位；采用OLS方法估计参数。指出该计量经济学问题中可能存在的主要错误，并简单说明理由。
答案：（答出4条给满分）
⑴ 模型关系错误。直接线性模型表示投入要素之间完全可以替代，与实际生产活动不符。
⑵ 估计方法错误。该问题存在明显的序列相关性，不能采用OLS方法估计。
⑶ 样本选择违反一致性。行业生产方程不能选择企业作为样本。
⑷ 样本数据违反可比性。固定资产原值用资产形成年当年价计算的价值量，不具备可比性。
⑸ 变量间可能不存在长期均衡关系。变量中有流量和存量，可能存在1个高阶单整的序列。应该首先进行单位根检验和协整检验。
⒉（12分）以 表示粮食产量， 表示播种面积， 表示化肥施用量，经检验，它们取对数后都是 变量且互相之间存在 关系。同时经过检验并剔除不显著的变量（包括滞后变量），得到如下粮食生产模型：
(1)
⑴ 写出长期均衡方程的理论形式；
⑵ 写出误差修正项ecm的理论形式；
⑶ 写出误差修正模型的理论形式；
⑷ 指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义。
答案：
⑴ 长期均衡方程的理论形式为：
⑵ 误差修正项ecm的理论形式为：
⑶ 误差修正模型的理论形式为：
⑷ 误差修正模型中每个待估参数的经济意义为：
：播种面积对产量的短期产出弹性；
：化肥施用量对产量的短期产出弹性；
：前个时期对长期均衡的偏离程度对当期短期变化的影响系数。
⒊（6分）对于上述粮食生产模型(1)，假设所有解释变量与随机误差项都不相关。
⑴ 如果采用普通最小二乘法估计，用非矩阵形式写出关于参数估计量的正规方程组；
⑵ 从以上正规方程组出发说明，为什么不能采用分部回归方法分别估计每个参数。
答案：
⑴ 在所有解释变量与随机误差项都不相关的条件下，如果采用普通最小二乘法估计，关于参数估计量的正规方程组为：
⑵ 如果采用分部回归方法分别估计每个参数，例如估计 ，建立一元模型，其正规方程组为： ，与上述⑴中第3个方程相比较，则要求方程右边其余各项均为0。但是，由于解释变量之间存在一定程度的共线性，这一要求显然不能满足。所以，两种情况下的 的估计结果不相同。
⒋（9分）投资函数模型
为一完备的联立方程计量经济模型中的一个方程，模型系统包含的内生变量为C（居民消费总额）、I（投资总额）和Y（国内生产总值），先决变量为 （ *** 消费）、 和 。样本容量为 。
⑴ 可否用狭义的工具变量法估计该方程？为什么？
⑵ 如果采用2SLS估计该方程，分别写出2SLS估计量和将它作为一种工具变量方法的估计量的矩阵表达式；
⑶ 如果采用GMM方法估计该投资函数模型，写出一组等于0的矩条件。
答案：
⑴ 不能用狭义的工具变量法估计该方程。因为该结构方程是过度识别的。
⑵ 如果采用2SLS估计该方程，可以将2SLS估计看作为一种工具变量方法。估计量的矩阵表达式分别为：
前者为2SLS估计，后者为其等价的工具变量估计。
⑶ 如果采用GMM方法估计该投资函数模型，用模型系统的所有先决变量作为工具变量。可以写出如下一组等于0的矩条件：
⒌（6分）建立城镇居民食品类需求函数模型如下：
其中V为人均购买食品支出额、Y为人均收入、 为食品类价格、 为其它商品类价格。
⑴ 指出参数估计量的经济意义是否合理，为什么？
⑵ 为什么经常采用交叉估计方法估计需求函数模型？
答案：
⑴ 对于以购买食品支出额位被解释变量的需求函数模型，即
参数 、 、 估计量的经济意义分别为人均收入、食品类价格、其它商品类价格的需求弹性；由于食品为必须品，V为人均购买食品支出额，所以 应该在0与1之间， 应该在0与1之间， 在0左右，三者之和为1左右。所以，该模型估计结果中 的估计量缺少合理的经济解释。
⑵ 由于该模型中包含长期弹性 和短期弹性 与 ，需要分别采用截面数据和时序数据进行估计，所以经常采用交叉估计方法估计需求函数模型。
⒍（9分）选择两要素一级CES生产函数的近似形式建立中国电力行业的生产函数模型：
其中Y为发电量，K、L分别为投入的资本与劳动数量，t为时间变量。
⑴ 指出参数γ、ρ、m的经济含义和数值范围；
⑵ 指出模型对要素替代弹性的假设，并指出它与C-D生产函数、VES生产函数在要素替代弹性假设上的区别；
⑶ 指出模型对技术进步的假设，并指出它与下列生产函数模型
在技术进步假设上的区别；
答案：
⑴ 参数γ为技术进步速度，一般为接近0的正数；ρ为替代参数，在（－1，∞）范围内；m为规模报酬参数，在1附近。
⑵ 该模型对要素替代弹性的假设为：随着研究对象、样本区间而变化，但是不随着样本点而变化。而C-D生产函数的要素替代弹性始终为1，不随着研究对象、样本区间而变化，当然也不随着样本点而变化；VES生产函数的要素替代弹性除了随着研究对象、样本区间而变化外，还随着样本点而变化。
⑶ 该模型对技术进步的假设为希克斯中性技术进步；而生产函数模型
的技术进步假设为中性技术进步，包括3种中性技术进步。
⒎（8分）试指出在目前建立中国宏观计量经济模型时，下列内生变量应由哪些变量来解释，简单说明理由，并拟定关于每个解释变量的待估参数的正负号。
⑴ 轻工业增加值 ⑵ 衣着类商品价格指数
⑶ 货币发行量 ⑷ 农业生产资料进口额
答案：
⑴ 轻工业增加值应该由反映需求的变量解释。包括居民收入（反映居民对轻工业的消费需求，参数符号为正）、国际市场轻工业品交易总额（反映国际市场对轻工业的需求，参数符号为正）等。
⑵ 衣着类商品价格指数应该由反映需求和反映成本的两类变量解释。主要包括居民收入（反映居民对衣着类商品的消费需求，参数符号为正）、国际市场衣着类商品交易总额（反映国际市场对衣着类商品的需求，参数符号为正）、棉花的收购价格指数（反映成本对价格的影响，参数符号为正）等。
⑶ 货币发行量应该由社会商品零售总额（反映经济总量对货币的需求，参数符号为正）、价格指数（反映价格对货币需求的影响，参数符号为正）等变量解释。
⑷ 农业生产资料进口额应该由国内第一产业增加值（反映国内需求，参数符号为正）、国内农业生产资料生产部门增加值（反映国内供给，参数符号为负）、国际市场价格（参数符号为负）、出口额（反映外汇支付能力，参数符号为正）等变量解释。
⒏（8分）回答：
⑴ 随机时间序列的平稳性条件是什么？证明随机游走序列不是平稳序列。
⑵ 单位根检验为什么从DF检验扩展到ADF检验？
答案：
⑴ 随机时间序列{ }（t=1, 2, …）的平稳性条件是：1）均值 ，是与时间t 无关的常数；2）方差 ，是与时间t 无关的常数；3）协方差 ，只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数。
对于随机游走序列 ，假设 的初值为 ，则易知
由于 为一常数， 是一个白噪声，因此 ，即 的方差与时间t有关而非常数，所以它是一非平稳序列。
⑵ 在采用DF检验对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程（AR(1)）生成的。但在实际检验中，时间序列可能是由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致DF检验中的自相关随机误差项问题。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF检验。
发布于 2023-03-02 01:55:33 回复
发布于 2023-03-02 02:39:49 回复